Программная навигация с использованием React Router

Вообще есть три подхода к программной маршрутизации внутри компонентов - с использованием high-order компонента withRouter, с компонентом <Route> и с использованием контекста.

Рассмотрим первый вариант:
withRouter будет инжектировать объект history как prop компонента. Это позволяет  получить доступ к методам push и replace без необходимости иметь дело с контекстом

import { withRouter } from 'react-router-dom'
// this also works with react-router-native
const Button = withRouter(({ history }) => (
  <button
    type='button'
    onClick={() => { history.push('/new-location') }}
  >
    Click Me!
  </button>
))

Остальные варианты на мой взгляд менее интересны, можешь ознакомиться с ними например здесь